\begin{section}{Enunciados}
\begin{enumerate}
	\item Demostrar que $A = I + v.v^t$ tiene factorización $LU$ $\forall v \in R^n$
	
	\item Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1\\ 1 & e & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 0 & e & 0 & \ldots & 0 
	\\ 1 & 0 & 0 & e & \ldots & 0 \\ \vdots & 0 & 0 & 0 & \ddots & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & e \end{pmatrix} $ 
	$\in R^{nxn}$ con $0 < e \ll 1$
	\par
	Demostrar que:
	\begin{enumerate}
		\item $K_1(A) \hspace*{4pt} \longrightarrow \infty$ cuando $e \longrightarrow 0$		
		\item $K_{\infty}(A) \longrightarrow \infty$ cuando $e \longrightarrow 0$		
		\item $K_1(A) \hspace*{4pt} \longrightarrow \infty$ cuando $n \longrightarrow \infty$		
		\item $K_{\infty}(A) \longrightarrow \infty$ cuando $n \longrightarrow \infty$		
	\end{enumerate}	
	
	\item Sea $A \in R^{nxn}$ $A = I - 2 u u^t$ con $||u||_2 = 1$ siento $u_i = \varepsilon$ $\forall i$
	\par
	Encontrar el número de condición de $A$ en norma $\infty$ y mostrar que está acotado cuando $n \longrightarrow \infty$
	
	\item Sea $A \in R^{nxn}$ una matríz tridiagonal. Demostrar que la cantidad de operaciones para triangular $A$, mediante el algoritmo de Gauss es aproximadamente $n$.
	
	\item Sea $||\bullet||$ una norma consistente y $k(\bullet)$ el correspondiente número de condición. Probar que si $A$ es no singular y 
	$\frac{||\delta A||}{||A||} < \frac{1}{k(A)}$ entonces $A + \delta A$ es no singular.
	
	\item Llamamos rotación en $R^2$ a una matríz de la forma $\begin{pmatrix} cos(\alpha) & sin(\alpha)\\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{pmatrix} $ con $\alpha \in [0, 2\pi)$ y llamamos relfexión en $R^2$ a una matríz de la forma $I_2 - 2uu^t$ con $u \in R^2$ y $||u||_2 = 1$.
	\par
	Probar que:
	\begin{enumerate}
		\item Una rotación en $R^2$ es simétrica definida positiva si y sólo si es igual a la identidad.	
		\item Ninguna reflexión en $R^2$ es simétrica definida positiva.	
	\end{enumerate}	
	
	\item Sea $A \in R^{nxn}$ una matríz tridiagonal. Demostrar que para triangular $A$ sin pivoteo son necesarias $3(n - 1)$ operaciones.
	
	\item Sea $A \in R^{nxn}$ definimos $||A||_{max} = max_{1 \leq i, j \leq n} ||a_{ij}||$
	\par
	Probar que:
	\begin{enumerate}
		\item $||A||_{max}$ es una norma.
		\item $||A||_{max}$ no es consistente.
		\item Existe una constante $\delta$, posiblemente dependiente de $n$, tal que la norma $\mu(\bullet)$ definida como $\mu(\bullet) = \delta ||A||_{max}$ es una norma consistente.
	\end{enumerate}	
	
	\item Sea $A \in R^{nxn}$ una matríz tridiagonal. Demostrar que la matríz resultante de triangular $A$ por el método de Gauss con pivoteo simple cumple que $a_{ij} = 0$ si $j \geq i + 3$.
	
	\item Sean $M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} $, $M_4 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} $, $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $, $I_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $.
	\par
	Hallar:
	\begin{enumerate}
		\item $v \in R^2$ tal que $(I_2 - 2 v v^t)M_2$ sea triangular superior.	
		\item $w \in R^4$ tal que $(I_4 - 2 w w^t)M_4$ sea triangular superior.	
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
\end{section}
